2005-(I)-Game Theory (Spieltheorie ) - web publication at docplayer
Article Index
9 Das Gefangenendilemma III Fazit: Es ist für Bob in jedem Fall besser zu reden. Die Strategie Reden ist eine strikt dominante Strategie (analog für Sam). Strategie s von Spieler 1 ist dominant, wenn sie die 1 ( s s ) Auszahlung π, maximiert, unabhängig davon, welche Strategie Spieler 2 wählt. (Analog für Spieler 2.) "reden" also defektieren ist eine dominante Strategie für beide Spieler
10 Wiederholtes Gefangenendilemma Das bisherige Gefangendilemma war ein Spiel in der sog. Normalform. Das heißt, Entscheidungen werden simultan getroffen. Es gibt auch sequentielle Spiele. Hier müssen die Spieler Entscheidungen nacheinander treffen. Bsp. Wiederholtes Gefangendilemma Man hat die Möglichkeit auf ein Defektieren (reden) zu reagieren (bestrafen). Analyse durch Rückwärtsinduktion: egal was in der 1. Periode passiert, in der 2. Periode gibt es ein einziges Nash-Gleichgewicht( reden,reden) da das Spiel in der 2. Periode klar ist, sieht die 1. Periode jetzt aus wie eine letzte Periode. einzige Lösung für die erste Periode: defektieren Sam kooperieren(schweigen) defektieren(reden) mehrmals Bob defektieren(reden) Bob defektieren(reden) Rückwärtsinduktion (Rationalität)
11 Das Nash-Gleichgewicht Man bezeichnet die Strategiekombination (reden/reden) als Nash-Gleichgewicht. * Ein Nash-Gleichgewicht ist eine Strategie-Kombiation s, bei der jeder Spieler eine optimale Strategie wählt bei gegebener optimaler Strategie des anderen Spielers. B B 1 B 2 B 3 Bsp. A 1 10/10 0/6 2/2 A A 2 15/0 5/5 4/4 A 3 3/5 7/8 6/6 Wählt Spieler B 2 so ist für Spieler A 3 optimal und umgekehrt. Kein Spieler kann sich durch Wahl einer anderen Strategie verbessern. In diesem Fall wird sich kein Spieler bewegen Am Spielfeld herrscht ein Gleichgewicht. Das Strategiebündel A1/B1 wäre zwar für beide Spieler vorteilhafter, wäre aber kein Gleichgewicht. Der Spieler A könnte sich durch Veränderung (Wahl von A2) verbessern.
12 Ein Spiel ohne Nash-Gleichgewicht Elfer-Schiessen TW L TW R SP L 0/1 1/0 SP R 1/0 0/1 Triff der Schütze beim Elfer-Schiessen ins Tor, bekommt er einen Punkt der Tormann kriegt nichts. Hält der Tormann den Schuss, so erhält er einen Punkt und der Schütze geht leer aus. Wie leicht gezeigt werden kann, gibt es keine Situation, welche für beide Schütze wie Tormann akzeptabel ist.
13 Evolutionäre Spieltheorie Kampf der Geschlechter Szenario: Wir gehen davon aus, dass Weibchen und Männchen möglichst erfolgreich ihre Gene weitervererben wollen. Strategie der Männchen (flatterhaft zu sein) Gegenstrategie der Weibchen (spröde zu sein) oder (und) Strategie der Männchen (treu zu sein) Gegenstrategie der Weibchen (willig zu sein) treue Männchen flatterhafte Männchen willige Weibchen spröde Weibchen sind zur einer langen Verlobungszeit bereit und betreuen den Nachwuchs wollen nur rasche Paarung und verschwinden anschließend sind zur raschen Paarung bereit bestehen auf eine lange Verlobungszeit vor der Paarung
14 Kampf der Geschlechter I Die Regeln: Jedes erfolgreich gezeugte (und aufgezogene) Kind bedeutet für die Eltern +30 Punkte (+15 für jeden), vorhergegangene Verlobungszeit (-6), die Brutpflege(-20) Bsp.: treues Männchen und sprödes Weibchen: 0,5*( )=+2 Payoff-Matrizen Weibchen willig Weibchen spröde Männchen treu Männchen flatterhaft Männchen treu 5 2 Weibchen willig 5-5 Männchen 15 0 Weibchen 2 0 flatterhaft spröde
15 Kampf der Geschlechter II x 1 x y 2 1 x1 + x2 = 1 Es sei nun der Anteil jener Männchen, welche die Strategie treu spielen, flatterhaft ; sind dann die willigen Weibchen und y 2 die spröden. Es gilt und y1 + y2 = 1. Die Auszahlung für ein treues Männchen hängt von den Weibchen ab und beträgt: ( ) P treu = 5y + 2y ( ) ( ) ( ) = die andern erhalten P flatterhaft = 15y P willig = 5x 5x P spröde 1 2 x 1 1 Eine höhere Auszahlung ist nun mit einer Begünstigung der Gene für den zugehörigen Spieler zu deuten. Daher existiert ein Gleichgewicht: ( ) = P( flatterhaft ) ( ) = P( spröde) P treu P willig Dies gilt dann wenn: 5/8 treue Männchen und 1/6 willige Weibchen p(5/8,3/8), q(5/6,1/6)
16 Kampf der Geschlechter III Der Weg zu einer Differentialgleichung für asymmetrische Konflikte Die Auszahlungstabelle für die Männchen sei nun eine 2x2-Matrix A, und für die Weibchen sei B. Die mittlere Auszahlung ist mit P(treu), P(flatterhaft), P(i) festgelegt: P(i) kann man schreiben als: ( ) = ( ), = 1 ( ) oder = 2 ( ) mit = ( 1, 2 ) i ( ) = ( ), = 1 ( ) oder = 2( ) mit x = (, ) P i Ay i treu i flatterhaft y y y P j By j willig j spröde x x i 1 2 dx dt i dyi = x ( Ay) xay und = y ( Bx) ybx dt i i i i